MAT01 Mathematische Grundlagen

Gegeben sind (unter anderem) die Preis-Absatz-Funktion \(p(x)=150-0.4x\). Man ermittle in Aufgabe 23) denjenigen Marktpreis, bei dem eine Preiserhöhung von 0.1 GE/ME zu einer Erlösminderung von (ca.) 0.5 GE führt.

Problem einordnen

In dieser Aufgabe brauchen Sie folgende Kenntnisse:

• Verständnis eines Differentials: Tietze Kapitel 6.1.1
• Ganz allgemein die Ableitungsregeln: siehe Skript MAT01, Block I, LS 2, Seite 5-10

Skizze

Als erstes können wir mit Hilfe einer Skizze uns überlegen, was genau gefragt wird. Dies stärkt unsere Intuition. Erst nachher werden wir das Problem dann formal lösen.

Da gemäss der Aufgabe der Effekt einer Preiserhöhung auf den Erlös beschrieben wird, macht es Sinn, den Erlös als Funktion des Preises darzustellen und danach zu skizzieren. In Aufgabe 10 haben wir im Ansatz 2 der kommentierten Lösung den Erlös als Funktion von p bereits berechnet: \(E(p)=p \cdot x(p)=p \cdot (375-2.5p)=375p-2.5p^2\)

Der Erlös ist also eine quadratische Funktion. Aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Term \(2.5p^2\) wissen wir, dass die Funktion konkav ist mit einem Scheitelpunkt, der gleichzeitig ein Maximum ist. Weil gemäss Aufgabe eine Preiserhöhung einen negativen Einfluss auf den Erlös hat, können wir davon ausgehen, dass wir uns rechts vom Scheitelpunkt befinden. Wenn im Punkt \({P_1}\) der Preis um 0.1 erhöht wird, also wenn dp=0.1 ist, dann sinkt der Erlös um ungefähr -0.5, also, dE=-0.5 (siehe Grafik). Gesucht wird in dieser Aufgabe nun der Wert p* (auf der x-Achse), bei welchem dies geschieht. Mit Hilfe der Differential dp und dE können wir nun formal das Problem lösen.

Formaler Lösungsweg

Wir kennen folgende zwei Arten, wie wir die Ableitungsfunktion des Erlöses im Bezug auf den Preis darstellen können (Lebnitz versus Newton Darstellung): Entweder \(E'(p)\) oder \(dE/dp\). Beides ist das Gleiche, sodass gilt: \(E'(p)=dE/dp\). Die rechte Seite können wir aufgrund der Aufgabenstellung berechnen: Aus dp=+0.1 folgt dE=-0.5. Wenn wir nun den Bruch der beiden Differentiale nehmen, so erhalten wir: \(dE/dp=-0.5/0.1=-5\). Wir können aber auch die linke Seite \(E'(p)\)berechnen, indem wir die Erlösfunktion nach p ableiten: \(E'(p)=375-5p\). Die linke und rechte Seite können wir gleichsetzen, also \(E'(p)=375-5p=-5=dE/dp\), und erhalten danach unseren gesuchten Preis p*, indem wir diese Gleichung nach p auflösen:

\(375-5p=-5\)

\( \Rightarrow \quad 380=5p\)

\(\Rightarrow \quad \) p* \(= 76\) GE/ME

Damit haben wir p* gefunden und wir können dieses Resultat grafisch veranschaulichen.

\(dE/dp=-0.5/0.1=-5\)

\(E'(p)=375-5p\)

\(dE/dp= E'(p) \quad \Rightarrow \quad 375-5p=-5\)

\( \Rightarrow \) p* \(= 76\) GE/ME